Das eBook Angewandte Mikroelektronik wurde von Hans Lohninger zur Unterstützung verschiedener Lehrveranstaltungen geschrieben. Weitere Informationen finden sie hier.


Nykvist-Theorem

Bei der Digitalisierung eines analogen Signals geschieht eine Diskretisierung sowohl in der Zeit- als auch in der Amplitudenrichtung. In diesem Abschnitt sollen nun die Auswirkungen der Zeitdiskretisierung gezeigt werden und daraus eine Regel zur Bestimmung der optimalen Abtastfrequenz gefunden werden.

Zuerst ein kleines Beispiel: Man betrachte zwei sinusförmige Signale, die eine Frequenz von 1000 Hz und 2500 Hz aufweisen (In folgender Abbildung: a und b). Nun werden diese beiden Signale mit einer Abtastfrequenz von 1500 Hz digitalisiert (c). Die jeweiligen Abtastwerte sind in den Kurven a) und b) durch Punkte markiert. Möchte man nun aus den Abtastwerten das ursprüngliche Signal rekonstruieren, so bekommt man in beiden Fällen die Kurve d), das heißt, bei der Digitalisierung ist die Frequenzinformation verloren gegangen, da man sonst die beiden Kurven unterscheiden können müsste.

Digitalisierung von zwei sinusförmigen Signalen

Mit dieser Simulation können Sie mit unterschiedlichen Signalformen bei verschiedenen Abtastraten experimentieren. Auf der rechten Seite wird das jeweils korrespondierende Fourierspektrum dargestellt.
Hinweis: Der Klick auf das Bild führt Sie auf die entsprechende Download-Seite von "Learning by Simulations".

Die entscheidende Frage lautet nun: Wie groß muss die Abtastfrequenz mindestens sein, damit ein sinusförmiges Signal bei der Rekonstruktion wieder mit der ursprünglichen Frequenz erscheint. Dazu noch ein kleines Beispiel:

Folgende Abbildung zeigt das Ergebnis der Digitalisierung eines Sinussignals mit einer Frequenz von 1000 Hz bei unterschiedlichen Digitalisierungsraten. Man sieht, dass bei 10 KHz Digitalisierungsrate das Signal noch ganz passabel rekonstruierbar ist. Je niedriger die Abtastfrequenz ist, desto schlechter werden die Ergebnisse, sodass bei 1.25 kHz die Rekonstruktion eine völlig falsche Kurve ergibt. Es gibt also scheinbar eine Grenzfrequenz der Digitalisierungsrate, die unbedingt eingehalten werden muss, damit ein sinusförmiges Signal noch ausreichend genau wiedergegeben werden kann.
Digitalisierung mit unterschiedlichen Abtastraten

Diese Grenzfrequenz wurde zuerst von Nykvist 1928 und dann später nochmals von Shannon 1949 berechnet. Das folgende Theorem definiert diese Grenzfrequenz und heißt Nykvist-Theorem; die Grenzfrequenz wird manchmal auch Nykvist-Frequenz genannt.

Nykvist-Theorem Falls ein Signal keine Frequenzkomponenten oberhalb einer Frequenz fmax beinhaltet, kann dieses Signal durch Abtastwerte mit einer Frequenz von >2*fmax eindeutig wiedergegeben werden.

Das bedeutet, dass im oben erwähnten Beispiel die Abtastfrequenz mindestens 2 kHz betragen muss.


Last Update: 2008-05-31